Question

关于一个立体几何的问题 谢谢了！

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC。过BD作于PA平行的平面，叫侧棱PC于点E，又作DF⊥PB，交PB于点F。

（1）证明：点E是PC的中点

（2）证明：PB⊥平面EFD

Answer 1

以D为原点，向量DA方向为想X轴正方向，向量DC方向为Y轴正方向，向量DP方向为Z轴正方向，建立空间直角坐标系D-XYZ
因为 E在面PDC上
所以 E的横坐标为0
E做DC，PD的垂线，易得两垂线的长度加起来为PD的长
设 PD的长为1，E（0，y，1-y），面EDB的法向量向量n=（x1,y1,z1）
因为 向量n垂直于向量DE与向量DB
所以 x1= -y1 z1=(y/(1-y))*y1
当x1=1时，向量n=（1，-1，（y/(1-y)) )
因为 向量AP与面DBE平行，所以有
1=y/(1-y)
所以 y=1/2
即E（0，1/2，1/2）
所以E为CP的中点

（2）向量BP=（1，1，-1）向量DE=（0，1/2，1/2）
因为 向量BP与向量DE的数量积等于0
所以 向量BP垂直于向量DE
又因为 向量BP垂直于向量DF
所以BP垂直于面DEF

唔~这个是高二的向量做法，希望您能够接受啦O(∩_∩)O
高二学生留

如果是高一的话......
连接AC交BD于点O
OE为面DEB与面APC的交线
因为 PA平行于面DBE
所以 PA平行于OE（两面相交，一面内一直线平行于另一平面也平行于交线）
因为 O为AC中点
所以 E为PC中点（中位线）
（2）因为BC垂直于DC与PD
所以BC垂直于面PDC
所以BC垂直于PC
说以PB在面PCD上的射影为PC
因为DE垂直于PC
所以DE垂直于PB
所以PB垂直于面DEF

Answer 2

（1）连接AC，交BD于G点
∵PA‖平面BDE
∴PA与平面内的所有直线都不相交
∵GE∈平面BDE，∴PA与GE不相交
那么PA与GE就只有两种可能性，要么平行，要么异面
又∵GE∈平面PAC，PA∈平面PAC，所以PA与GE在同一个平面内
∴PA‖GE，（同一个平面内不相交的两条直线必是平行，可以证明的）
∵四边形ABCD是正方形，所以BD与AC的交点G点是BD的中点，也是AC的中点
在△CPA中，由中位线定理可以得出点E是PC的中点
（2）暂时没想到

Answer 3

(1)连接AC、BD交于O，连接EO,则EO//=1/2PD，所以E是PC的中点。