Question

已知中心在原点,其中一个焦点为F(-1,0)的椭圆,经过P(根号2,-根号6/2),椭圆

已知中心在原点，其中一个焦点为F（-1，0）的椭圆，经过P（根号2，-根号6/2），椭圆

的右顶点为A，经过F的直线与椭圆交于B,C两点。
（1）求椭圆的方程
（2）若△ABC的面积为（18根号2）/7，求直线的方程。

Answer 1

已知中心在原点，其中一个焦点为F（-1，0）的椭圆，经过P（根号2，-根号6/2），椭圆

的右顶点为A，经过F的直线与椭圆交于B,C两点。
（1）求椭圆的方程
（2）若△ABC的面积为（18根号2）/7，求直线的方程。
解：
（1）设椭圆方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1，(a>b>0)
则c²=a²-b²=(-1)²——（1）；
代入点P(√2，-√6/2)得(2/a²)+((3/2)/b²)=1——（2）；
联立（1）、（2）解得a²=4、b²=3；
即椭圆方程为(x²/4)+(y²/3)=1。
（2）由（1）可知椭圆右顶点坐标为A(2，0)；
很容易验证：当直线垂直x轴时，S△ABC=9/2≠18√2/7，
所以该直线与x轴不垂直，其斜率存在。
设过左焦点F(-1，0)的直线斜率为k，则其方程为y=k(x+1)，k≠0；
联立椭圆方程，消去x，可得(4k²+3)y²-6ky-9k²=0；
则易知S△ABC=|y1-y2|×|AF|/2=3√((y1+y2)²-4y1y2)/2=18√2/7
则3√((6k/(4k²+3))²-4×(-9k²)/(4k²+3))/2=18√2/7；
解得k²=9/17，则k=±3√17/17，则直线方程为：
y=±(3√17/17)(x+1)。

Answer 2

解：
（1）设椭圆方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1，(a>b>0)
则c²=a²-b²=(-1)²——（1）；
代入点P(√2，-√6/2)得(2/a²)+((3/2)/b²)=1——（2）；
联立（1）、（2）解得a²=4、b²=3；
即椭圆方程为(x²/4)+(y²/3)=1。
（2）由（1）可知椭圆右顶点坐标为A(2，0)；
很容易验证：当直线垂直x轴时，S△ABC=9/2≠18√2/7，
所以该直线与x轴不垂直，其斜率存在。
设过左焦点F(-1，0)的直线斜率为k，则其方程为y=k(x+1)，k≠0；
联立椭圆方程，消去x，可得(4k²+3)y²-6ky-9k²=0；
则易知S△ABC=|y1-y2|×|AF|/2=3√((y1+y2)²-4y1y2)/2=18√2/7
则3√((6k/(4k²+3))²-4×(-9k²)/(4k²+3))/2=18√2/7；
解得k²=9/17，则k=±3√17/17，则直线方程为：
y=±(3√17/17)(x+1)。

Answer 3

（1）设椭圆方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1，(a>b>0)
则c²=a²-b²=(-1)²——（1）；
代入点P(√2，-√6/2)得(2/a²)+((3/2)/b²)=1——（2）；
联立（1）、（2）解得a²=4、b²=3；
即椭圆方程为(x²/4)+(y²/3)=1。
（2）由（1）可知椭圆右顶点坐标为A(2，0)；
当直线垂直x轴时，S△ABC=9/2≠18√2/7，
所以该直线与x轴不垂直，其斜率存在。
设过左焦点F(-1，0)的直线斜率为k，则其方程为y=k(x+1)，k≠0；
联立椭圆方程，消去x，可得(4k²+3)y²-6ky-9k²=0；
则易知S△ABC=|y1-y2|×|AF|/2=3√((y1+y2)²-4y1y2)/2=18√2/7
则3√((6k/(4k²+3))²-4×(-9k²)/(4k²+3))/2=18√2/7；
解得k²=9/17，则k=±3√17/17，则直线方程为：
y=±(3√17/17)(x+1)。