Question

已知f(x)是R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，若f（5）=2，求f（2009）的值

已知f(x)是R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，若f（5）=2，求f（2009）的值。

Answer 1

f(x)为偶函数 ，所以有f(-x)=f(x)
f(3)=f(-3+6)=f(-3)+f(3)=2f(3) 所以f(3)=0

f(2009)=f(2003+6)=f(2003)+f(3)=f(1997)+2f(3)=..............=f(5)+334f(3)=f(5)=2

Answer 2

令x=t-3,则有f(t+3)=f(t-3)+f(3),若t=0,有f(3)=f(-3)+f(3),因为f(x)是R上的偶函数，所以f(3)=f(-3），故有f(3)=0,所以f(2009)=f(2006+3)=f(2006-3)+f(3)=f(2003)=f(2000-3)+f(3),又2009=334*6+5，故依次进行有f(2009)=f(5)=2

Answer 3

解：令x=-3，得f(6-3)=f(-3)+f(3),
又因为偶函数，f(-3)=f(3),所以得到f(3)=0.
所以，f(x+6)=f(x)，周期为6，f(2009)=f(5)=2.

Answer 4

由 f(x+6)=f(x)+f(3) 得
f(3)=f(-3)+f(3) 即f(3)=f(-3)=0；
故有 f(x+6)=f(x) 成立
所以有f（2009）=f（2003）=f（1997）=f（1991）=...f(5) =2