Question

高中数学，求详解

已知函数f(x)=2^x -1 (x<=0) f(x) = f(x-1) + 1 (x>0) 把方程f(x) - x = 0的根按从小到大的顺序排列成一个组合，则该数列的通项公式为

Answer 1

解：若0<x<=1，则-1<x-1<0，得f(x)=f(x-1)+1=2^(x-1)
若1<x<=2，则0<x-1<=1，得f(x)=f(x-1)+1=2^(x-2)+1
若2<x<=3，则1<x-1<=2，得f(x)=f(x-1)+1=2^(x-3)+2
若3<x<=4，则2<x-1<3，得f(x)=f(x-1)+1=2^(x-4)+3
以此类推，若n<x<=n+1（其中n∈N），则f(x)=f(x-1)+1=2^(x-n-1)+n
下面分析函数f(x)=2^x的图像与直线y=x+1的交点
很显然，它们有两个交点（0,1）和（1,2），
由于指数函数f(x)=2^x为增函数且图像下凸，故它们只有这两个交点。
然后①将函数f(x)=2^x和y=x+1的图像同时向下平移一个单位即得到函数f(x)=2^x-1和y=x的图像，
取x<=0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0,0）.
即当x<=0时，方程f(x) - x = 0有且仅有一个根x=0.
②取①中函数f(x)=2^x-1和y=x图像-1<x<=0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，
即得f(x)=2^(x-1)和y=x在0<x<=1上的图像，显然，此时它们仍然只有一个交点（1,1).
即当0<x<=1时,方程f(x) - x = 0有且仅有一个根x=1.
③取②中函数f(x)=2^(x-1)和y=x在0<x<=1上的图像，继续按照上述步骤进行，
即得到f(x)=2^(x-2)+1和y=x在1<x<=2上的图像，显然，此时它们仍然只有一个交点（2,2).
即当1<x<=2时,方程f(x) - x = 0有且仅有一个根x=2.
④以此类推，函数y=f(x)与y=x在（2,3]，(3,4]，…(n,n+1]上的交点依次为(3,3)，(4,4)，…(n+1,n+1).
即方程f(x) - x = 0在（2,3]，(3,4]，…(n,n+1]上的根依次为3，4，…n+1.
综上所述方程f(x) - x = 0的根按从小到大的顺序排列所得数列为
0，1，2，3，4，…
其通项公式为An=n-1.
注：麻烦你自己去画图像。