Question

在直角坐标平面内，已知点A(2,0),B(-2,0),P为平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为-3/4.求p轨迹方程

在直角坐标平面内，已知点A(2,0),B(-2,0),P为平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为-3/4.求p轨迹方程，过点（1/2，0）作直线l与轨迹C交于E、F两点，线段EF中点为M求MA斜率的取值范围

Answer 1

1、
P(x,y)
则[(y-0)/(x-2)]*[(y-0)*(x+2)]=-3/4
y²/(x²-4)=-3/4
4y²=-3x²+12
x²/4+y²/3=1

2、
EF是y-0=k(x-1/2)
y=kx-k/2
代入3x²+4y²-12=0
(3+4k²)x²-4k²x+k²-12=0
x1+x2=4k²/(3+4k²)
y1+y2=kx1-k/2+kx2-k/2=k(x1+x2)-k=-3k/(3+4k²)
所以M[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]是[2k²/(3+4k²),-3k/2(3+4k²)]
所以MA斜率=[0+3k/2(3+4k²)]/(2-2k²/(3+4k²)]
=3k/(12+4k²)

方程(3+4k²)x²-4k²x+k²-12=0有解
所以16k^4-4(3+4k²)(k²-12)>=0
45k²+36>=0
所以k∈R

所以MA斜率=3k/(12+4k²)=3/(12/k+4k)
k>0,则12/k+4k>=2√12/k*4k=8√3,
0<3/(12/k+4k)<=√3/8
同理,k<0,则-√3/8<=3/(12/k+4k)<0
k=0，3k/(12+4k²)=0
所以MA斜率的取值范围是[-√3/8,√3/8]

Answer 2

（2）
直线l过点（0.5 ,0），设直线l方程为y＝m(x-0.5)
直线l 与轨迹 C 交于E,F两点，设E,F两点坐标为（x1，y1），（x2，y2）
E,F两点的中点M坐标为（(x1+x2)/2，(y1+y2)/2）
（(x1+x2)/2，m(x1+x2-1)/2）
联立y＝m（x-0.5）与3x^2+4y^2=12消去y
得：(4m^2+3)x^2-4m^2x+m^2-12=0
x1+x2＝4m^2/(4m^2+3)
所以M坐标为（2m^2/(4m^2+3)，3m/(8m^2+6)）
AM 的斜率 k ＝[3m/(8m^2+6)]/[2m^2/(4m^2+3)-2]
＝m/(4m^2+4)
＝0.25（m/(1+m^2)）
令t＝1/（m/(1+m^2)）＝(1+m^2)/m＝1/m+m
当m>0时，t＝1/m+m≥2√（m*(1/m)）＝2，
当且仅当m＝1/m，即m＝1(m=-1舍去)时取等号
当m<0时，t＝1/m+m＝－（-1/m+(-m)）≤-2√（-m*(-1/m)）=-2
当且仅当-m＝-1/m，即m＝-1(m=1舍去)时取等号
所以t≥2或t≤-2
-1/2≤1/t≤1/2
-1/8≤0.25（1/t）≤1/8
即-1/8≤k≤1/8
由于曲线c中-2<x<2，所以当m＝0，即：直线l的方程为y＝0时，l与c无交点
此时k ＝0.25（m/(1+m^2)）＝0舍去
而当m为∞时，直线l方程为x＝0.5，此时E,F两点关于x轴对称，中点m坐标为（0.5，0）
直线AM显然与x轴重合即y＝0，斜率为0，说明k＝0是存在的
所以k的取值范围是：-1/8≤k≤1/8