Question

必修二数学题

若过点A（0,1）和B（4，m）并且与x轴相切的圆有且只有一个，求实数m的值和这个圆的方程

Answer 1

解：设圆心为（a，b），则圆方程为
(x-a)²+(y-b)²=b²
将A（0,1）代入圆方程，即
a²+(b-1)²=b² ..........................................(i)
将B（4，m）代入圆方程，即
(4-a)²+(m-b)²=b²....................................(ii)
联立 (i) (ii) ，很容易消去b得：
(1-m)*a²-8a+m²-m+16=0 .......................(iii)
因为依题意圆心(a,b)唯一，故a有唯一解，分两种情况：
（1）若1-m=0，则m=1，得 a=2，b=5/2
圆方程为(x-2)²+(y-5/2)²=25/4
（2）若1-m≠0，则将方程（iii）看成关于a的一元二次方程，要使a有唯一解，则
△=0，即 8²-4(1-m)(m²-m+16)=0，整理得
m³-2m²+17m=0，因式分解，得
m(m²-2m+17)=0，
m=0 或 m²-2m+17=0（舍去，因为m²-2m+17恒大于0），故
m=0，则a²-8a+16=0，得a=4，故b=17/2
圆方程为(x-4)²+(y-17/2)²=289/4

综上所述：
当 m=1 时，圆方程为(x-2)²+(y-5/2)²=25/4
当 m=0 时，圆方程为(x-4)²+(y-17/2)²=289/4