Question

已知抛物线y^2=-x与直线y=k(x+1)相交于A.B两点 1.求证OA垂直OB 2.当三角形OAB面积为根号10时，求k 要过程

Answer 1

1:
设A点坐标为（Xa,Ya),B点坐标为(Xb,Yb)
因为它们在抛物线y^2=-x上，则
A:(-Ya^2,Ya),B(-Yb^2,Yb)
又因为它们在直线y=k(x+1)上，则
Ya=k(Xa+1) Yb=k(Xb+1)
两都相除得
Ya/Yb=(Xa+1)/(Xb+1)
Ya*(Xb+1)=Yb(Xa+1)
Ya*(-Yb^2+1)=Yb(-Ya^2+1)
-YaYb^2+Ya=-Ya^2Yb+Yb
YaYb(Ya-Yb)+(Ya-Yb)=0
(Ya-Yb)(YaYb+1)=0
因为AB不同点，所以Ya-Yb<>0
则YaYb=-1
KOA=(Ya-0)/(-Ya^2-0)=-1/Ya
KOB=(Yb-0)/(-Yb^2-0)=-1/Yb
KOA*KOB=-1/YA*(-1/Yb)=1/(YaYb)=-1
所以OA垂直OB
2:
OA=√(Ya^2+Ya^4) OB=√(Yb^2+Yb^4)
S三角形OAB=1/2*OA*OB=1/2*√(Ya^2+Ya^4) * √(Yb^2+Yb^4)=√10
√(Ya^2+Ya^4) * √(Yb^2+Yb^4)=2√10 两边平方得
(Ya^2+Ya^4) * (Yb^2+Yb^4)=40
Ya^2Yb^2+Ya^2Yb^4+Yb^2Ya^4+Ya^4Yb^4=40
(YaYb)^2+(YaYb)^2Yb^2+(YaYb)^2Ya^2+(YaYb)^4=40
(-1)^2+(-1)^2Yb^2+(-1)^2Ya^2+(-1)^4=40
1+Yb^2+Ya^2+1=40
Ya^2-2+Yb^2=36
Ya^2+2*(-1)+Yb^2=36
Ya^2+2YaYb+Yb^2=36
(Ya+Yb)^2=36
Ya+Yb=6 或 Ya+Yb=-6
因为A，B在直线y=k(x+1)上，则
k=(Ya-Yb)/(Xa-Xb)
=(Ya-Yb)/(-Ya^2+Yb^2)
=(Ya-Yb)/(Ya+Yb)(Yb-Ya)
=-1/(Ya+Yb)
所以 k=1/6 或 k=-1/6

Answer 2

1. y^2=-x y=k(x+1) 消y得 k^2x^2+(2k^2+1)x+k^2=0 x1x2=1
消x 得 y^2+y/k-1=0 y1y2=-1 kOA=y1/x1 kOB=y2/x2
kOA*kOB=y1/x1 * y2/x2=y1y2/x1x2=-1 OA垂直OB
2.S=1/2*|y1-y2|*1=根号10 |y1-y2|=2*根号10 (y1+y2)^-4y1y2=40 1/k^2+4=40

k^2=1/36 k=1/6 k=-1/6

Answer 3

解：（1）y^2=-x和y=k(x+1)，两个式子联立，求的A（x1，y1），B（x2，y2）的，x1+x2=-（2+1/k^2），x1x2=1，y1y2=-1，若OA垂直OB ，在三角形OAB 中，AB^2=OA^2+OB^2，即（x1-x2）^2+（y1-y2）^2开根号=（x1^2+y1^2）+（x2^2+y2^2），代入开始求得的x1+x2=-（2+1/k^2），x1x2=1，y1y2=-1，得到等式两边成立，所以：OA垂直OB
（2）三角形OAB面积为1/2OA*OB ，即1/2（x1^2+y1^2）开根号*（x2^2+y2^2）开根号=根号10，两边平方，可求得k为+-1/6