Question

定义在R上的函数f(x)满足f(0)=0,f(x)+f(1-x)=1,f(x÷5）=0.5f(x),且当0≤X1＜X2≤1时，有f(X1)≤f(X2),则f

定义在R上的函数f(x)满足f(0)=0,f(x)+f(1-x)=1,f(x÷5）=0.5f(x),且当0≤X1＜X2≤1时，有f(X1)≤f(X2),则f(2007÷2008）等于？

Answer 1

令x=1得f(1/5)=1/2
根据已知f(x/5)=f(x)/2
令x=1/5,
可求出f(1/25)=f(1/5)/2=1/4
再令x=1/25
求出f(1/125)=f(1/25)/2=1/8
接着令x=1/125
求出f(1/625)=f(1/125)/2=1/16
最后令x=1/625
求出f(1/3125)=f(1/625)/2=1/32 ①

由另一个已知条件f(x)+f(1-x)=1，令x=1/2
可得f(1/2)+f(1-1/2)=1
2f(1/2)=1
f(1/2)=1/2

重复开始对f(1/5)反复用条件f(x/5)=f(x)/2的过程：
令x=1/2
f(1/10)=f(1/2)/2=1/4
令x=1/10
f(1/50)=f(1/10)/2=1/8
令x=1/50
f(1/250)=f(1/50)/2=1/16
令x=1/250
f(1/1250)=f(1/250)/2=1/32 ②

这样由① ②式，有f(1/1250)=f(1/3125)=1/32
可以比较出1/3125 < 1/2008 < 1/1250
因为x1<x2时，f(x1)≤f(x2)
所以有f(1/2008)≥f(1/3125)=1/32
f(1/2008)≤f(1/1250)=1/32
故f(1/2008)=1/32

由f(x)+f(1-x)=1，f(2007/2008) = 1 - f(1- 2007/2008) = 1- f(1/2008) = 1- 1/32 = 31/32

Answer 2

∵f(x/5)=f(x)/2 ∴f(x)=2f(0.2x) ∴ f(x)=2^n * f(0.2^n * x)
设：X=2007/2008，Y=1/2008 则：X = 1 - Y
根据：0.2^n * X = Y，求n， n=以0.2为底关于2007的对数
求得： n = -4.7248771 ∴ f(X)=2^n * f(Y) = 0.0378155 * f(Y) ∴f(Y)=26.4441575 * f(X)
∵f(x)+f(1-x)=1 ∴ f(X)=1-f(1-X) = 1 - f(Y) = 1 - 26.4441575 * f(X)
∴(1+26.4441575 )*f(X) = 1
∴ f(X) = 0.0364376 即：f(2007/2008）= 0.0364376

Answer 3

f(5)