Question

高中数学问题，求详细解答过程

当n 为正整数时，定义函数N(n)表示n 的最大奇因数，如N(3) = 3 ，N(10) = 5，……，
记S(n) = N(1) + N(2) + N(3) + …… + N(2^n)
则（1）S(4) = ______________
（2）S(n) = _____________

Answer 1

1.S(n) = N(1) + N(2) + N(3) + ……+N(16)=1+3+5+7+9+11+13+15+N(2)+N(4)+N(6)+N(8)+N(10)+N(12)+N(14)+N(16)=64+N(1)+N(2)+N(3)+N(4)+N(5)+N(6)+N(7)+N(8)=1+3+5+7+9+11+13+15+1+3+5+7+N(2)+N(4)+N(6)+N(8)=1+3+5+7+9+11+13+15+1+3+5+7+1+3+1+1=86
2.s(n)=N(1) + N(2) + N(3) + …… + N(2^n)=[N(1)+N(3)+N(5)+...+N(2^n-1)]+[N(2)+N(4)+...+N(2^n)]=[N(1)+N(3)+N(5)+...+N(2^n-1)]+N(1) + N(2) + N(3) + …… + N(2^(n-1))
=[1+3+5+...+(2^n-1)]+S(n-1)=4^(N-1)+S(N-1)
所以S(N)-S(n-1)=4^(n-1)
s(n-1)-s(n-2)=4^(n-2)
...........
s(2)-s(1)=4^1
将上面的式子相加得
s(n)-S(1)=4+4^2+...+4^(n-1)
又s(1)=N(1) + N(2)=1+1=2
s(n)=4+4^2+...+4^(n-1)+2=(4^n-4)/3+2