Question

高二数学，跪求高手解答。。

已知椭圆x²/6+y²/2=1，直线l过点(3，0）且交椭圆与P,Q两点。若向量OP垂直向量OQ，求直线L的方程。
我的解法是：设P（x0，y0），Q（x1，y1），直线L：y=k（x-3）
把P、Q坐标带入椭圆方程后相减得：
x0²-x1²+3（y0²-y1²）=0
除以x0²-x1²
1+3（y0+y1)(y0-y1)/(x0+x1)(x0-x1)=0
1+3k(y0+y1)/(x0+x1)=0
然后把直线方程和椭圆方程联立，得到关于x的二次方程。用韦达定理用k表示出（y0+y1）和（x0+x1）代入上式。
结果发现k²是负数，无解。而且这个方法也没有用到两个向量垂直的条件。。
Q1请问这方法哪里错了？
Q2跪求正确解答
谢谢各位

Answer 1

有错误
联立直线方程和椭圆方程得
(3k²+1)x²-18k²x+27k²-6=0
x1+x0=18k²/(3k²+1)
y1+y0=k(x1-3)+k(x0-3)=k(x1+x0-6)=k[18k²/(3k²+1) - 6]= -6k/(3k²+1)
(y0+y1)/(x0+x1)= -6k/18k²= -1/(3k)
1+3k(y0+y1)/(x0+x1)= 1+3k*[-1/(3k)]=1-1=0
上式是恒等式，解不出来的，不知道你怎么解出负的，其实你在把两式相减的时候，用k表示(y1-y0)/(x1-x0)时已经相当于联立直线与椭圆了，后面又联立一次，重复了，所以得到的是恒等式。

应该这样写
设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线L：y=k（x-3）
联立直线方程和椭圆方程得
(3k²+1)x²-18k²x+27k²-6=0
向量垂直
∴x1x2+y1y2=0
然后根据韦达定理用k表示x1x2
根据y1y2=k(x1-3) * k(x2-3)=k²[x1x2-3(x1+x2)+9]，用k表示y1y2
然后求出k