Question

高二数学，请高手解答，谢谢

双曲线的中心在原点,焦点F(2,0)到一条渐近线的距离为1，试求过F所作一渐近线的垂线L被双曲线截得的线段长。

Answer 1

fv gaer 
向左转|向右转
焦点F(2,0)到一条渐近线的距离为1，则垂线、半长轴、该渐近线围成直角三角形，渐近线与长轴夹角30°，垂线与长轴夹角60°，渐近线斜率b/a=±√3/3；
再由c²=a²+b²可求得b=c/2=1、a=√3，离心率e=c/a=2√3/3；右准线a²/c=3/2；
图示为一条过F直线L：y=-√3(x-2)/3被双曲线所截；
将L代入椭圆方程：x²/3+[-√3(x-2)]² =1，整理方程：(10x²/3)-12x+11=0；
交点两横坐标之和x1+x2=3*12/10=3.6；
根据双曲线性质，交点之间线段长度等于交点到右准线距离之和的e倍:
所以交线段长度＝e*[(x1+x2)-2*(a²/c)]=2*[3.6-(3/2)]=4.2；