Question

求助！！高数问题。。。

证明那个不等式，其中X不等于Y的。

Answer 1

本题完全可以用函数的凹凸性质来证明。
你令f(x)=xlnx，然后求二次导，就是等于x分之1，本题是不是少条件啊，就是这个不等式是在x和y都是大于0的。
那么就是二阶导数恒大于0，是凹函数，那么有{(x+y)/2}ln{(x+y)/2}<｛xlnx+ylny}/2,就是两端点的和的平均值（连接这两点直线的中点处直线上那点的函数值）大于该函数在中点的值。

Answer 2

由对称性，不妨设x>y
则考虑函数 f(t)=(t+y)*ln[(t+y)/2]-t*lnt-y*lny,其中 t > y(>0) (y为常数)
易知 f'(t) = ln[(t+y)/2]+1 - lnt >0
于是 f(t)是单调递增的f(t)>f(y)=0
取t=x化简即得结论