Question

2007浙江中考最后一题最后一小问

24．如图，抛物线 与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线 与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。
如图

Answer 1

1、x²-2x-3=0
（x+1)(x-3)=0
x1=-1,x2=3
A点的坐标是（-1,0）；B点的坐标是（3,0）
当x=2时，y=4-4-3=-3
所以：C点的坐标是（2，-3）

设AC的表达式是y=kx+b
把A点和C点的坐标分别带入：
0=-k+b……（1）
-3=2k+b……（2）
解（1）、（2）得
k=-1,b=-1
直线AC的函数表达式:y=-x-1

2、设P点的坐标是（X0,Y1),那么E点的坐标是（X0，Y2）
Y1=-X0-1……（3）
Y2=X0²-2X0-3……（4）
Y1-Y2=-X0^2+X0+2=-（X0-1/2）²+9/4。
PE的最大值=|Y1-Y2|=9/4。

3存在4个点F
第三问的意思可以转化为，求一条过AC中点P（1/2，-3，2）的直线，截抛物线于G，截x轴于F，使得FP=GP。
解答如下
设斜率为k
直线为y+3/2=k(x-1/2)
则F(1/2+3/2k,0),G((k-2)(+/-)√(k^2-6k+10),y0),y0就不求了，下面用不到.
F(x)+G(x)=2P(x)-------P是中点
=>1/2+3/2k+(k-2)(+/-)√(k^2-6k+10)=1
=>k=3, -3/7, (21-6√7)/21,(21+6√7)/21
=>F(x)=-3,1,4+√7,4-√7
=>存在4个这样的点F，分别是(-3,0) (1,0) (4+根号7) (4-根号7)