Question

如图，在梯形ABCD中，AB//CD,∠BCD=90°，且AB=1,BC=2,tan=∠ADC=2.

2）E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论
3）在（2）的条件下，当BE:CE=1:2,∠BEC=135°时，求∠BEF的度数

Answer 1

1、△ECF是等腰直角三角形
过点A作AG垂直DC垂足为G，可知AG=BC=2，CG=AB=1，
由,tan∠ADC=2. 得 AG：DG=2：1，
所以DG=1，所以DC=BC，
因∠EDC=∠FBC，DE=BF，
所以三角形DEC全等三角形BFC
所以CE=CF，∠BCF=∠DCE,
因∠DCB=∠DCE+∠ECB=90°，所以∠BCF+∠ECB=∠ECF=90°，
所以三角形ECF是等腰直角三角形
2、由1可知，∠FEC=∠CFE=45°，因∠BEC=135°，
所以∠BEF=∠BEC-∠FEC= 90°. （注，此角角度与BE:CE=1:2无关）

Answer 2

】（1）过A点作AH⊥DC
在RT△AHD中，
tan∠ADC=AH/HD=2
∵AH=BC=2
∴HD=AH/2=2/2=1
又AB=HC=1
∴DC=HD=HC=1+1=2
∴DC=BC
(2)在△EDC和△FBC中
DC=BC
且∠EDC=∠FBC，DE=BF
∴△EDC≌△FBC （SAS）
∴EC=FC
且∠ECD=∠FCB
而∠BCD=90°
∴∠ECF=90°
故△ECF是等腰直角三角形
（3）∵∠CEF=45°,∠BEC=135 °
∴∠BEF=90°
EC=2BE
∴EF=√2EC=2√2BE
BF=3BE
在RT△BEF中
sin∠BFE=BE/BF=1/3.