Question

一道三角函数的题目

已知a^2=b(b+c),求证A=2B

Answer 1

两边同时加c^2可得a^2+c^2-b^2=bc+c^2
由余弦定理可得2acCOSB=c(b+c)
2SINACOSB=SINB+SINC
又SINA=SIN(B+C),整理可得SIN(A-B)=SINB
所以A-B=B或A-B+B=兀（舍去）即A=2B

Answer 2

2bccosA=b^2+c^2-a^2=b^2+c^2-b^2-bc=c(c-b)
cosA=(c-b)/2b
2accosB=a^2+c^2-b^2=b^2+bc+c^2-b^2=c(b+c)
cosB=(b+c)/2a
2(cosB)^2-1=(b+c)^2/2a^2-1=(b^2+c^2+2bc-2a^2)/2a^2=(b^2+c^2+2bc-2b^2-2bc)/2(b+c)b
=(c^2-b^2)/2b(c+b)=(c+b)(c-b)/2b(c+b)=(c-b)/2b=cosA
所以A=2B