Question

证明不等式 应该使用中值定理

x/(1+x)<ln(1+x)< x (x>0)
|arctan a-arctan b|<=|a-b|

Answer 1

(1)设定f(x)=ln(1+x)不看定义域 x=0时 f(x)是有定义的
那么f(x)在区间[0,x]上是连续的并且可导则必存在一点&满足ln(1+x)-ln(0+1)=1/(1+&) *(x-0)
其中0<&<x 化简ln(1+x)=x/(1+&)因为&>0,1+&>1显然in(1+x)<x
因为x<&显然ln(1+x)>x/(1+x)
最终得到结果
(2)
首先不妨设a>b去掉两边绝对值 (a=b比较好证)
首先函数f(x)=arctanx在定义域(-∞,+∞)内是可导且为增函数在[b,a]上连续 满足中值定理
比存在一点&使得arctana-arctanb=1/1+&2 *(a-b) 因为两边都是正数且1/1+&2<1
那么 arctana-arctanb<(a-b)
综合得出结论