Question

过椭圆3x^2+4y^2=48的左焦点F引直线交椭圆于A、B两点，若│AB│=7，则此直线方程为...

过椭圆3x^2+4y^2=48的左焦点F引直线交椭圆于A、B两点，若│AB│=7，则此直线方程为...
需要具体过程，只有答案的不要。

Answer 1

这题能做死人。。
整理3x^2+4y^2=48得x^2/16+y^2/12=1
c^2=16-12=4，c=2
设y=kx+b经过(-2,0)可得b=-2
将y=kx-2代入3x^2+4y^2=48
整理得(4k^2+3)x^2-16kx-32=0
又│AB│=7
设A(x1,y1) B(x2,y2)
则(x1^2-x2^2)+(y1^2-y2^2)=49且k=(y1-y2)/(x1-x2)两式合得
(x1^2-x2^2)+(y1^2-y2^2)=(k^2+1)[(x1+x2)^2-4x1x2]=49
韦达定理，其中x1+x2=-b/a=16k/(4k^2+3)
x1x2=c/a=-32/(4k^2+3)
代入到(k^2+1)[(x1+x2)^2-4x1x2]
就得到只关于k的方程了，就可以求出来了，
计算太麻烦了

Answer 2

上面太复杂了。。

3x^2+4y^2=48
即x^2/16+y^2/12=1
a^2=16,b^2=12,c^2=4
因此左焦点（－2,0）
过左焦点的直线为y=k(x+2),代入椭圆方程得
3x^2+4(kx+2k)^2=48
(4k^2+3)x^2+16k^2x+16k^2-48=0
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=[-16k^2/(4k^2+3)]^2-4(16k^2-48)/(4k^2+3)
AB^2=(k^2+1)*(x1-x2)^2
=(k^2+1)*{[-16k^2/(4k^2+3)]^2-4(16k^2-48)/(4k^2+3)}=7^2
这个题目到此很变态。
换一个思路，我们知道，椭圆上一点到焦点与焦点对应准线的距离之比等于离心率，也就是椭圆上一点到焦点的距离等于点到对应准线距离乘以离心率，因此有
(x1+a^2/c)*c/a+(x2+a^2/c)*c/a=7
c/a(x1+x2)+2a=7
2/4*{-16k^2/(4k^2+3)]}+2*4=7
16k^2/(4k^2+3)=2
8k^2/(4k^2+3)=1
8k^2=4k^2+3
4k^2=3
k=±√3/2
因此直线方程为y=±√3/2(x+2)