Question

在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相较于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABC

在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相较于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°
1）求四棱锥P-ABCD的体积
2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
第二小题要详细过程

Answer 1

1：V=2

2：90°

Answer 2

在Rt△AOB中AO=ABcos30°=
3
=OP，
于是，在等腰Rt△POA中，
PA=
6
，则EF=
6
2
．
在正△ABD和正△PBD中，DE=DF=
3
，
cos∠FED=
1
2
EF
DE
=
6
4
3
=
√2/
4
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos
√2/4
．

Answer 3

设DE交PO于F，在平面APC内，过F作PA的平行线分别交AC、PC于M，N，则角NFE就等于要求的异面角，F是三角形PBD的中心，PF=2/3*3^0.5，FM/PA=1/3，FM=2/3
MN/PA=2/3，MN=4/3，FN=2/3
DF=2/3*3^0.5，
PN=4/3，由△PND可求出DN，然后在△DFN中用余弦定理可求出角DFN