Question

线性代数的两道题，在线等.

有点麻烦..复习的时候做不来。

需要详细步骤。

在线等。

想要晚上用。
2 0 0 2 0 0
2.设矩阵相似A= 0 0 1 与B 0 y 0 相似..
0 1 X 0 0 -1

求X， y
求一个可逆矩阵P，使P-1AP=B

0 0 1
设矩阵A= X 1 Y 可对角化，求X和Y应该满足的条件。
1 0 0

Answer 1

答：
两题都是有关特征值的。
1.
det|λE-A|=λ^3-(2+x)λ^2+(2x-1)λ+2=f(λ)
因为A与B相似，即A,B特征值相等。λ=-1代入得f(-1)=0即x=0。
f(λ)=λ^3-2λ^2-λ+2=(λ-2)(λ+1)(λ-1)
所以特征值是2，1，-1。所以y=1
即x=0，y=1。
分别将λ=2,λ=1,λ=-1代入|A-λE|，得特征向量分别为(1,0,0)T,(0,1,1)T,(0,1,-1)T.
所以P=
1 0 0
0 1 1
0 1 -1

2.
矩阵A的特征多项式det|λE-A|=(λ-1)^2(λ+1)，特征值λ1=λ2=1，λ3=-1。
若A可对角化，则对于二重根λ1=λ2=1，A有两个线性无关的特征向量。
对应的线性齐次方程组(E-A)X=0的系数矩阵(E-A)秩为1。
化简有：
1 0 -1
0 0 x+y
0 0 0
则x+y=0。
所以若A可对角化，则x+y=0.

Answer 2

A与B相似，就是A与B有相同的特征值。求特征值就是了。
|λE-A|=|(λ-2) 0 0| =(λ-2) *(λ²-λx-1)=0 得到λ=2或λ²-λx-1=0
0 λ -1
0 -1 (λ-x)
|λE-B|=|(λ-2) 0 0| =(λ-2) *(λ-y)(λ+1)=0 得到λ=2或λ=y或λ=-1
0 (λ-y) 0
0 0 (λ+1)
所以λ=-1是λ²-λx-1=0的一个解，代入得到x=0，那么A的特征值为2，1，-1，
所以B的特征值之一：y必定为1，所以x=0，y=1。
将λ=2代入(λE-A)x=0得方程组：
2(x2)-(x3)=0，-(x2)+2(x3)=0，
得到一组基础解系α1=(1,0,0)'
同样对λ=1和λ=-1都算一次，得到另外两个基础解系α2=(0,1,1)'和α3=(0,1,-1)'
所以得到P=(1 0 0)
0 1 1
0 1 -1
0 0 1
设矩阵A=x 1 y 可对角化，
1 0 0
特征多项式为det(λE-A)=|λ 0 -1| =(λ-1)²(λ+1)
-x λ-1 -y
-1 0 λ
所以A的特征值λ1=λ2=1，λ3=-1。对于二重特征值λ1=λ2=1，A应有两个线性无关的特征向量，所以对应的齐次线性方程组(E-A)x=0的系数矩阵(E-A)的秩为1，
即r(E-A)=1，
(E-A)=(1 0 -1) →化为上三角(1 0 -1)
-x 0 -y 0 0 -(x+y)
-1 0 1 0 0 0
要秩为1，必有x+y=0，这也就是A可对角化的条件了。