Question

如何用单调有界定理证明确界定理

Answer 1

证明：已知实数集A非空。存在a属于A,不妨设a不是A的上界，另外，知存在b是A的上界，记a1= a，b1=b ，用a1 ，b1 的中点(a1+b1)/2 二等分[a1 ，b1 ]，如果(a1+b1)/2属于B ，则取a2 =a1 ，b2 =(a1+b1)/2 ；如果(a1+b1)/2属于A ，则取a2 =（a1+b1)/2 ，b2 =b1 ；……如此继续下去，便得两串数列 。其中{an}属于A 单调上升有上界（例如b1 ），{bn} 单调下降有下界（例如a1 ）并且bn -an= (b1-a1)/2 (n-->无穷） 。由单调有界定理，知存在 r，使liman = r (n-->无穷）。由 lim（bn-an ）=0 有 liman+（bn-an ）= r (n-->无穷）
因为{bn}是A的上界，所以对任意x属于A ，有x<=bn （n=1，2，……），
令n-->无穷 ，x<=lim(n-->无穷）bn = r 所以 r是A的上界。
而 任意c>0由lim(n-->无穷）an = r知任意c>0知存在N，当n>N 有r-c<an
从而 存在X属于A ，使r-c<an<X 所以 r=supA。
同理可证非空有下界数集有下确界。定理证完