Question

若limx趋近于0，（sin6x+xf（x））/x^3=0，求limx趋近于0，（6+f（x））/x^2的值

微积分的题求解

Answer 1

lim x→0,[sin6x + xf(x)]/x³=0+α，其中lim x→0,α=0

即f(x)/x² = -sin6x/x³ + α

从而lim x→0,[6+f(x)]/x²

=lim x→0,( 6/x² - sin6x/x³ + α )

=lim x→0,(6x-sin6x)/x³，用洛必达法则

=lim x→0,[6(1-cos6x)]/3x²，用等价无穷小lim x→0,(1-cosx)等价于lim x→0,x²/2

=lim x→0,[ 6 × (6x)² × 1/2 ]/3x²

=36

极限

从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用。

所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。历史上是柯西(Cauchy，A.-L.)首先较为明确地给出了极限的一般定义。他说，“当为同一个变量所有的一系列值无限趋近于某个定值。

Answer 2

lim x→0,[sin6x + xf(x)]/x³=0+α，其中lim x→0,α=0
即f(x)/x² = -sin6x/x³ + α
从而lim x→0,[6+f(x)]/x²
=lim x→0,( 6/x² - sin6x/x³ + α )
=lim x→0,(6x-sin6x)/x³，用洛必达法则
=lim x→0,[6(1-cos6x)]/3x²，用等价无穷小lim x→0,(1-cosx)等价于lim x→0,x²/2
=lim x→0,[ 6 × (6x)² × 1/2 ]/3x²
=36

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示