Question

四棱锥P-ABCD,的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上,

（1）求证：平面AEC⊥平面PDB
（2）若E为PB中点，棱PC（不包括端点）上是否存在点F，使得DF‖平面AEC，若存在，找出点F的位置，若不存在，说明理由。
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Answer 1

底面ABCD是正方形，AC⊥BD
PD⊥底面ABCD,AC⊥PD
所以，AC⊥平面PDB
AC⊂平面AEC
所以，平面AEC⊥平面PDB
设O为BD中点，连EO
因为AC⊥平面PDB。所以，∠AEO是AE与平面PDB所成的角
E为PB的中点,O为BD中点,所以，EO=PD/2=√2AB/2
AO=AC/2=√2AB/2
所以，AEO是等腰直角三角形，
AE与平面PDB所成的角∠AEO=45°

Answer 2

⑴ AC⊥PD.（∵PD⊥底面ABCD）AC⊥BD,∴AC⊥平面PDB,
AC∈平面ACE. ∴平面ACE⊥平面PDB,
⑵ 设底面中心为O.,则OE‖DP（中位线）， DP‖平面AEC（∵O∈AC）
假如棱PC（不包括端点）上存在点F，使得DF‖平面AEC，则平面PDF‖平面AEC.
与C∈平面PDF∩平面AEC.矛盾，∴所求的F不存在。