Question

高二数学12

f(x)=x^2-2x-3,求g(x)=f(xe^x),x∈[0,1]的值域。

Answer 1

解：令u=xe^x
易知函数u=xe^x在[0,1]上为单调递增
所以x∈[0,1]时锋脊u的取值范围是[0，e]
由题知g(x)=f(u)=u^2-2u-3 (当x∈[0，1]时，u∈蔽族[0，e])
因为f(u)=u^2-2u-3的对称轴为u=1
所以当x∈[0，1]，即u∈[0，e]时
gmin(x)=fmin(u)=f(1)=-4
gmax(x)=fmax(u)=f(e)=e^2-2e-3（如果宏基弊需要计算出数值e = 2.718281828459 代入）
所以x∈[0，1]时g(x)的值域为[-4，e^2-2e-3]
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Answer 2

先握配求g(x)
g(x)=(xe^x)^2-2(xe^x)-3
=x^2 e^2x-2xe^x-3
x∈[0,1]

g(x)的值域唯皮悉指乎为[-3,2e^2-2e-3]