Question

如图,在三角形ABC中,AB=AC,以AC为直径作圆O交BC于点D

如图，在三角形ABC中，AB=AC，以AC为直径作圆O交BC于点D，作DE垂直AB于点E，求证：DE是圆O的切线

Answer 1

证明：

∵AB是直径

∴∠ADB=∠ADC=90°

即AD⊥BC

∵AB=AC,即△ABC是等腰三角形

∴AD是∠BAC的平分线（三线合一）

∴∠BAD=∠CAD

即∠OAD=∠ODA=∠CAD（OA=OD)

∵DE⊥AC

∴∠DEC=∠ADC

∵∠C=∠C

∴△ACD∽△DCE

∴∠CDE=∠CAD=∠ODA

∵∠CDE+∠ADE=90°

∴∠ODA+∠ADE=90°

即∠ODE=90°

∴OD⊥DE

∴DE是圆O的切线

性质：

1、切线和圆只有一个公共点；

2、切线和圆心的距离等于圆的半径；

3、切线垂直于经过切点的半径；

4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；

5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心；

6、从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

Answer 2

证明圆的切线的方法：⑴、圆心到直线的距离等于半径；⑵、过半径外端且垂直于半径。此题可用第二种方法解决，即：证明DE⊥OD。证法如下：连结OD，所以AD⊥BC，由于AB=AC，利用等腰三角形的“三线合一”，知点D为BC的中点，所以OD‖AB，又由于DE⊥AB，那就有DE⊥OD，即DE为圆的切线。证毕。

Answer 3

连接DO因为DO=CO所以角C=角ODC而AB=AC所以角B=角C所以角B=角ODC所以DO平行AB又因为DE垂直AB所以DE垂直DO所以DE是圆的切线。

Answer 4

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