求下列微分方程的通解
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求微分方程 2y''+y'-y=2e^x的通解
解：齐次方程2y''+y'-y=0的特征方程 2r²+y-1=(2r-1)(r+1)=0的根：r₁=1/2, r₂=-1;
因此齐次方程的通解为：y=C₁e^(x/2)+C₂e^(-x).
设原方程的特解为：y*=ae^x；则 y*'=ae^x；y''=ae^x；
代入原式得：2ae^x+ae^x-ae^x=2ae^x,∴a=1.
故特解y*=e^x;
于是得原方程的通解为：y=C₁e^(x/2)+C₂e^(-x)+e^x.
解：齐次方程2y''+y'-y=0的特征方程 2r²+y-1=(2r-1)(r+1)=0的根：r₁=1/2, r₂=-1;
因此齐次方程的通解为：y=C₁e^(x/2)+C₂e^(-x).
设原方程的特解为：y*=ae^x；则 y*'=ae^x；y''=ae^x；
代入原式得：2ae^x+ae^x-ae^x=2ae^x,∴a=1.
故特解y*=e^x;
于是得原方程的通解为：y=C₁e^(x/2)+C₂e^(-x)+e^x.
更多追问追答
追问
请问，特解为什么要设成y*=ae^x?
追答
特解为什么设成y*=ae^x ?说来话长。
常系数非齐次线性二阶微分方程：y''+py'+qy=f(x)
的特解要根据方程右边的函数f(x)的情况来设。这里
问题很多，不是几句话就能说清楚的，你还是自己
看看常微分方程的书吧！好不好？
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