Question

求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取得最小值的x的集合.

Answer 1

y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=3sin2x+3cos2x=3根号2sin(2x+π/4)
ymin=-3根号2 2x+π/4=2kπ-π/2 x=kπ-3π/8 k属于Z

Answer 2

楼上好像有问题吧？应该2sinxcosx=sin2x啊(二倍角正弦公式)
y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=2sin2x+3cos2x
=a[(2/a)sin2x+(3/a)cos2x]
这里用两角和正弦或余弦公式都行。这里我用正弦(sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa)：
令2/a=cosθ，3/a=sinθ，则(2/a)^2+(3/a)^2=1，解得a=√13，而且tanθ=3/2
∴y=√13sin(2x+θ)，其中tanθ=3/2
那就好了，成了单一的三角函数变形(合并了)，最小值就是ymin=-√13了
但是取到的x值应当是使2x+θ=2kπ-π/2 (k∈Z)
则x=kπ-π/4-θ/2，其中tanθ=3/2。(学过反三角函数也可以把θ写成arctan3/2)

关键还是在于利用公式合并成单一三角函数名