Question

已知如图在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BD平分∠ABC,AD⊥BD于点D，交AC于点E，求证：BE=2AD

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Answer 1

延长AD、BC交于点F，因为BD是角平分线，易证△BAD≌△BFD，
∴AD=FD
又∵∠CAF+∠AFC=90°，∠EBC+∠AFC=90°
∴∠EBC=∠CAF
在△BCE和△ACF中
∠EBC=∠CAF（已证），AC=BC（已知），∠BCE=∠ACF=90°
∴△BCE≌△ACF
∴BE=AF=2AD

Answer 2

解：延长AE与BC，使它们相交于一点，F
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBF
又∵∠ADB=90°
∴∠ADF=∠ADB=90°
在△ABD与△FBD中
∠ABD=∠DBF
BD=BD
∠ADF=∠ADB
∴△ABD≌△FBD(ASA)
∴AD=FD
又∵∠CBE+∠BEC=90°
∠AED+∠EAD=90°
而∵∠BEC=∠AED（对顶角相等）
∴∠CBE=∠EAD
∵∠ACB=90°,AC=BC
∴△ABC为等腰直角三角形
∴BC=AC
在△BEC与△ACF中
∠CBE=∠CAF
BC=AC
∠BCE=∠ACF
∴△BEC≌△ACF(ASA)
∴BE=AF
又∵AF=AD+DF
AD=DF
∴AF=2AD
∴BE=2AD