Question

有一个整数，用它去除82、165、240后所得到的三个余数的和为13，这个整数是多少？（请用算术方法解决）

Answer 1

13÷3 = 4.33
这个除数X显然要大于4.33。即X≥5。

令
82 ÷ X = A……M
165 ÷ X = B……N
240 ÷ X = C……P

即
AX + M = 82
BX + N = 165
CX + P = 240
此三式相加：
(A + B + C)X + (M + N + P) = 487
M + N + P = 13
即
(A + B + C)X = 474 =2×3×79
因此X 可能 = 6、79、……
因240被6整除，要使余数为13则除数必大于6.5，排除6。
又当X较大时显然单个余数会超过13，验算得
X = 79
上面式子只为分析方便，无需真的解方程。

或因82 = 80 + 2，165 = 80*2 + 5 ，240 = 80*3
令80除以此数余数为单位1。则82的余数为单位1多2，165的余数为2个单位1多5，240的余数为3个单位1。
如此显然6个单位1多7，等于13。推得单位1就等于1
除数即80 - 1 = 79

Answer 2

设这个数为x，三个商分别为a1,a2,a3，三个余数分别为r1,r2,r3
则：a1x+r1=82,a2x+r2=165,a3x+r3=240，且r1<x，r2<x，r3<x，r1+r2+r3=13
三式相加，得
(a1+a2+a3)x+(r1+r2+r3)=82+165+240,
(a1+a2+a3)x=82+165+240-13=474=2*3*79
从而x=1,2,3,6,79,158,237,474，显然排除掉x=1,2,3（因为不能同时满足r1<x，r2<x，r3<x）
和x=165,237,474（因为x<=82）
逐一验证可得x=79

Answer 3

因82 = 80 + 2，165 = 80*2 + 5 ，240 = 80*3
令80除以此数余数为单位1。则82的余数为单位1多2，165的余数为2个单位1多5，240的余数为3个单位1。
如此显然6个单位1多7，等于13。推得单位1就等于1
除数即80 - 1 = 79