Question

已知点A（1，1）而且F1是椭圆x^2/9+y^2/5=1的左焦点，P是椭圆上任意一点，求|PF1|+|PA|的最大值和最小值?

（2）已知发F1，F2是椭圆x^2/9+y^2/4=1的两个焦点，点P在椭圆上。如果△PF1F2是直角三角形，求点P的坐标？
（3）已知P为椭圆上任意一点，F1,F2是椭圆的两个焦点，求：
1）|PF1|×|PF2|的最大值； 2)|PF1|^2+|PF2|^2的最小值

Answer 1

已知点A（1，1）而且F1是椭圆x^2/9+y^2/5=1的左焦点，P是椭圆上任意一点，求|PF1|+|PA|的最大值和最小值?
解：椭圆:x²/9+y²/5=1
a^2=9,c^2=9-5=4
F2(2,0)
△PAF2中，|PA|-|PF2|≤|AF2|=√2
又|PF1|+|PF2|=2a=6
∴|PA|+|PF1| = |PA|+(6-|PF2|）= 6+(|PA|-|PF2| ≤ 6+√2
即：P在AF2延长线上时，|PA|+|PF1|的最大值是6+√2
因为三角形两边之差小于第三边，所以(|PF2| - |PA|) <= |AF2|(等号成立当且仅当P,A,F2在同一直线上)
所以|PA| + |PF1| = 2a - (|PF2| - |PA|) >= 2a - |AF2|
= 2*3 - √2
= 6-√2
即|PA|+|PF1|的最小值为6-√2

已知发F1，F2是椭圆x^2/9+y^2/4=1的两个焦点，点P在椭圆上。如果△PF1F2是直角三角形，求点P的坐标？
解：c^2=a^2-b^2=5,c=√5,设P坐标为（x,y)
（1）当∠PF2F1=90,P坐标为（√5,y)
|PF2|^2+|F1F2|^2=|PF1|^2,PF1+PF2=6
得(6-|PF1|)^2+20=|PF1|^2
得：|PF1|=14/3
即：20+y^2=196/9
得：y=±4/3,x=√5
(2)当∠PF2F1=90,P坐标为（-√5,y)，根据对称性得：y=±4/3,x=-√5
（3）当∠F1PF2=90，P(x,y)
|PF1|^2+|PF2|^2=|F1F2|^2,PF1+PF2=6
解得：|PF1|=2或4
即(x+√5)^2+y^2=4或16
又PF1⊥PF2
(y+√5)/x*(y-√5)/x=-1
联解得：x=-3√5/5或3√5/5
y=±4√5/5
综上，满足条件的点P有8个，分别为（√5，4/3），（-√5，4/3），（√5，-4/3），（-√5，-4/3），（3√5/5，4√5/5），（3√5/5，-4√5/5），（-3√5/5，4√5/5），（-3√5/5，-4√5/5）

题目是：已知椭圆 x^2/4+y^2=1，F1，F2为其两焦点，P为椭圆上任一点。求
1）|PF1|×|PF2|的最大值； 2)|PF1|^2+|PF2|^2的最小值
略解：设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a=4，|PF1||PF2|=mn≤ =4.
|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|≥42-2×4=8

Answer 2

已知点A（1，1）而且F1是椭圆x^2/9+y^2/5=1的左焦点，P是椭圆上任意一点，求|PF1|+|PA|的最大值和最小值?
解：椭圆:x²/9+y²/5=1
a^2=9,c^2=9-5=4
F2(2,0)
△PAF2中，|PA|-|PF2|≤|AF2|=√2
又|PF1|+|PF2|=2a=6
∴|PA|+|PF1| = |PA|+(6-|PF2|）= 6+(|PA|-|PF2| ≤ 6+√2
即：P在AF2延长线上时，|PA|+|PF1|的最大值是6+√2
因为三角形两边之差小于第三边，所以(|PF2| - |PA|) <= |AF2|(等号成立当且仅当P,A,F2在同一直线上)
所以|PA| + |PF1| = 2a - (|PF2| - |PA|) >= 2a - |AF2|
= 2*3 - √2
= 6-√2
即|PA|+|PF1|的最小值为6-√2