Question

函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，是否存在实数m，使f（4m-2mx）＞f（4-2x²

函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，是否存在实数m，使f（4m-2mx）＞f（4-2x²）对所有x∈[0,1]都成立
求出m

Answer 1

【解】函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，
则f（x）在(-∞，0]上也是增函数。
所以函数f（x）在R上是增函数。
由f（4m-2mx）＞f（4-2x²）可得：
4m-2mx＞4-2x²，m(2-x)>2- x².
设2-x=t, 因x∈[0,1]，则t∈[1,2]，
∴mt>2-(2-t)²,m>[2-(2-t)²]/t,
[2-(2-t)²]/t=(-2+4t-t²)/t=-(t+2/t)+4,
∵t∈[1,2]，∴t+2/t≥2√2
所以-(t+2/t)+4≤-2√2+4.
∴m>-2√2+4时，f（4m-2mx）＞f（4-2x²）对所有x∈[0,1]都成立。