Question

函数f(x)是定义在R上的奇函数且在区间[0,+∞)是增函数,是否存在实数m,使得f(4m-2mx）＞f（4-2x^2）

对于所有x∈[0,1]都成立？若存在，求出所有合适条件的实数m；若不存在，请说明理由。 （本人学渣，实在不会做，完全没有思路，若能配图，重金酬谢(*^__^*) 嘻嘻……）

Answer 1

首先，f(x)在区间[0,+∞)是增函数，那么就有：若x>y，则f(x)>f(y)。
由此可知，若要满足f(4m-2mx）＞f（4-2x^2），只需要满足4m-2mx＞4-2x^2。即(x-m)^2-(m^2-4m-4)(1)
由于是在区间[0,+∞)考虑的问题，还要满足4m-2mx>0，4-2x^2>0。
然后，由于f(x)是定义在R上的奇函数，若区间[0,+∞)是增函数，那么在区间(-∞，0)也就是增函数。
由减函数的性质可知，若x>y，就有f(x)>f(y)。
由此，若f(4m-2mx）＞f（4-2x^2），只需要满足4m-2mx>4-2x^2
由于是在(-∞，0)考虑的问题，那么还要满足4m-2mx<0，4-2x^2<0.
若一个大于零，另一个小于0，则只需满足4m-2mx>0>4-2x^2(以上三式对于任意x∈[0，1]成立）(1)截得m∈(-%,0)U(2+2^1/2,+%)

Answer 2

首先，f(x)在区间[0,+∞)是增函数，那么就有：若x>y，则f(x)>f(y)。
由此可知，若要满足f(4m-2mx）＞f（4-2x^2），只需要满足4m-2mx＞4-2x^2。
由于是在区间[0,+∞)考虑的问题，还要满足4m-2mx>0，4-2x^2>0。
然后，由于f(x)是定义在R上的奇函数，若区间[0,+∞)是增函数，那么在区间(-∞，0)就是减函数。
由减函数的性质可知，若x>y，就有f(x)<f(y)。
由此，若f(4m-2mx）＞f（4-2x^2），只需要满足4m-2mx<4-2x^2
由于是在(-∞，0)考虑的问题，那么还要满足4m-2mx<0，4-2x^2<0.
分这些情况解不等式，就能得到答案了

Answer 3

由奇函数的性质知f(x)在R上为增函数
∴4m-2mx>4-2x²
∴2m(2-x)>4-2x².
∴m>(2-x²)/(2-x)，只需求(2-x²)/(2-x)的最大值
令t=2-x，则x=2-t，t∈[1,2]
(2-x²)/(2-x)=(-t²+4t-2)/t=-(t+2/t)+4≤4-2√2.
∴m>4-2√2.