Question

已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则f（

已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则f（-25），f（80），f（11）的大小顺序是

Answer 1

解析：由f（x）满足f（x-4）=-f（x）可变形为f（x-8）=f（x），得到函数是以8为周期的周期函数，则有f（-25）=f（-1），f（80）=f（0），f（11）=f（3），再由f（x）在R上是奇函数，f（0）=0，得到f（80）=f（0）=0，f（-25）=f（-1），再由f（x）在区间[0，2]上是增函数，以及奇函数的性质，推出函数在[-2，2]上的单调性，即可得到结论．

追答

因f(x)是在R上的奇函数
所以f(-x)=-f(x)
又f(x-4)=-f(x)则
f(x)=-f(x+4)
f（x+4)=-f(x+8)
所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x)
因此函数f(x)一个周期为8
则f(-25)=-f(25)=-f(8*3+1)=-f(1)=f(-1)
f(11)=f(8+3)=f(3)=-f(3-4)=-f(-1)=f(1)，
f(80)=f(8*10)=f(0)
又奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数,则f(x)在区间[-2,0]上是增函数
所以f(0)<f(1)，f(-1)<f(0)
因此f(-1)<f(0)<f(1)
所以f(-25)< f(80) <f(11)

希望我的用心，详细回答能帮到你！也祝你学习进步！

追问

我觉得f(x-4)=-f(x)由奇函数定义推出f(4-x)=f(x),所以周期是4。这怎么错了

追答

在
f(x-4)=-f(x) (1)
中，用 x-4替换x，得
f(x-8)=-f(x-4) (2)
对比 （1）（2）得
f(x-8)=-f(x-4)=-[-f(x)]=f(x)

周期函数定义，前面的x要都是正的或都是负的，你那样是一正一负啊

不明白还可以再问

追问

你自己也说f(x-8)=f(x)也是一正一负啊

追答

f(x-8)=f(x)，x前面的系数都是正的吧

周期函数定义f（x+T）=f（x），两个x前面要正都是正，要负都是负才可以的

追问

对喔明白了谢谢

Answer 2

f(x-8)=f(x-4-4)=-f(x-4)=f(x)
∴周期为8(-8
为周期
我写的8是最小正周期.T为周期,T的整数倍也为周期,)
奇函数在两个对称区间有相同的单调性,所以f(x)在[-2,2]d单调递增
f(80)=f(0)
f(11)=f(3)=f(1)
f(-25)=f(-1)
所以选择f(—25）