Question

已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数，则（ ）

A、f(-25)<f(11)<f(80) B、f(80)<f(11)<f(-25)
C、f(11)<f(80) <f(-25) D、f(-25))<f(80) < f(11)

f(x-4)=-f(x) ==>f(x-8)=f(x) 这是为什么

Answer 1

已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数，则（）
A、f(-25)<f(11)<f(80) B、f(80)<f(11)<f(-25) C、f(11)<f(80) <f(-25) D、f(-25))<f(80) < f(11)

解析：∵定义在R上的奇函数f(x),
∴f(-x)=-f(x), f(0)=0
∵f(x)满足f(x-4)=-f(x),
令x=x-4，代入f(x-4-4)=-f(x-4)=f(x)
∴f(x)为j最小正周期是8的周期函数
一般地，函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。
∴4|a-b|=8==>|0-b|=2==>b=2
∴f(x)图像既关于点A(0,0)成中心对称又关于直线x=2成轴对称
又f(x)在区间[0,2]上是增函数；
∴f(x)在区间[-2,0]上也是增函数；
∴f(x)在区间[2,6]上是减函数；在区间[-6,-2]上是减函数；
F(-25)=f(-25+3*8)=f(-1)
F(11)=f(11-8)=f(3)
F(80)=f(0)
∴f(3)>f(0)>f(-1)==>f(11)>f(80)>f(-25)
选择D

Answer 2

推导很容易的：
f(x-8)=f([(x-4)-4]=-f(x-4)=-[-f(x)]=f(x)

f(80)=f(80-8×10)=f(0)
f(11)=-f(11-4)=-f(6)=-[-f(6-4)]=f(2)
f(-25)=-f(25)=-f(25-24)=-f(1)
f(-25)<f(80)<f(11)
选D。

Answer 3

请教下 为什么-F（1） 最小不是最大

Answer 4

f(x-8)
=f[(x-4)-4]
=-f(x-4)
=f(x)