Question

不等式证明题

设f(x)在区间[0,1]上二阶可微，且f'(0)=f'(1)=0 证明存在c属于(0,1)满足f''(c)>=4|f(1)-f(0)|

Answer 1

白羊座星光 ,你好：
这个题我做了起码有四五遍了，是道比较精典的微分中值证明题了。其关键是将函数在x=0,x=1处用麦克劳林展式展开。算了，我写一遍吧。
当X E（0，1）时，f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(a)x^2 a E(0,x)
f(x)=f(1)+f'(1)(1-x)+f''(b)x^2 b E(x,1),
两式相减得， 0=f(0)-f(1)+[f''(a)-f''(b)]x^2. 移项并加绝对值为 |(1)-f(0)|=|f''(a)-f''(b)|x^2.因为二阶可微，故在二阶上也是连续的，通过介值定理能找到。f''(c)=1/2(f"(a)+f''(b)),然后你用一次绝对值不等式就可以了。注意X^2<1.