Question

多元积分！为什么用蓝色笔圈出来的这一块等于零呢？用分部积分法计算

多元积分！为什么用蓝色笔圈出来的这一块等于零呢？用分部积分法计算这种多元积分，把1和0怎么代入X还是Y？？

Answer 1

解：详细过程是，∵X、Y相互独立，∴其联合密度函数f(x,y)=fX(x)*fY(y)。而，X、Y的密度函数分别是fX(x)=1、0≤x≤1，fX(x)=0、其它；fY(y)=1、0≤y≤1，fY(x)=0，其它，∴f(x,y)=1、0≤x≤1，0≤y≤1、f(x,y)=0，其它。
∴P(x^2+y^2≤1)=P[0≤x≤√(1-y^2)]=∫(0,1)dy∫(0,√(1-y^2))f(x,y)dx=∫(0,1)√(1-y^2)dy。
根据定积分的几何意义，∫(0,1)√(1-y^2)dy表示的是半径为1的圆的面积的1/4，其值π/4，∴P(x^2+y^2≤1)=π/4。