Question

求高数大神解释下二重积分轮换对称性的一个内容

求高数大神解释下二重积分轮换对称性的一个内容如果把y变x ，x变y后 原式和变之后的没有区别叫轮换对称性的话。

我刚才逛百度看到一个人说，积分2xdxdy 轮换为2ydxdy，然后说他们一样…这一样嘛？这明明不一样吧。

我图中这个式子，利用轮换对称后得到的新式子，明显和原来的不一样啊。原式分子是x倍的多少 变之后是y倍的多少…。不满足轮换对称的条件为什么答案还要去轮换呢。

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Answer 1

你的理解是对的。2xdxdy和2ydydx是不一样的。
这道题是轮换对称性中比较简单的，将x与y对换，得到的积分是相等的。对任意二重积分都成立，无论对称与否。这里明白吗？
因为把x与y对换相当于把x轴和y轴互换，里面的积分函数所围图形的体积是不变的，所以积分相等，但是积分区域D也相应的变了，对于本题来说x与y互换后积分区域D仍然是D，所以I=I1 I=I2,所以二分之一I=I1+I2，其中I1+I2可以化简成你最后一行的形式 。不知道你明白没？精妙的地方是积分区域D没变，所以I1可以和I2相加。

追问

对换x与y的时候，积分区域D也要关于y=x对称吧，D要变成D1，然后有可能D和D1会是重合的。

追答

积分区域D也要x与y互换，D不关于y=x对称也可以，就是那样对这道题没有意义了。也可以这么说一般互换后D还是D的，都关于y=x对称。
这道题中D是1《x平方+y平方《4 ，你把x与y互换 不就是y平方+x平方吗，D没变啊。

追问

噢了解了，谢谢🙏

Answer 2

2014年数学二的考研题。
如果你是考研人，这个不会说不过去。
如果你是新手，看视频去呀。

追问

如果你没打算说别说呀
你说了别人就不说了呀
要是每个知识点都去自己找视频呀
那我可能真的没时间呀
而且我这个就是看了相关视频没懂呀