Question

大学数学 线性代数

1.写出下列矩阵的2次型，并判断正定性。

1）1 1 1
1 2 2
1 2 3

2）-1 1 0
1 -2 1
0 1 -3

Answer 1

第一个对应的二次形是
x²+2y²+3z²+2xy+2xz+4yz
矩阵的顺序主子式分别为 1>0,1>0,1>0所以正定
第二个对应的二次型是
-x²-2y²-3z²+2xy+2yz
矩阵的顺序主子式分别为 -1<0,1>0,1>0所以是不定的

Answer 2

二次型的写法：a(ii)就是xi^2项前面的系数(i=1，2，…，n)，a(ij)+a(ji)是xi*xj的系数（i，j=1，2，…，n）
矩阵正定的判断就是看它是否所有的顺序主子式都大于零或者所有的特征值大于0（前提是对称矩阵 如果不对称就不用判断，肯定不正定）
1) f(x1,x2,x3)=(x1)^2+2(x2)^2+3(x3)^2+2x1*x2+2x1*x3+4x2*x3;
1>0;1*2-1*1>0;化简可以看出|A|=1*1*1=1>0
所以矩阵正定（也就是二次型正定）
2）f(x1,x2,x3)=-(x1)^2-2(x2)^2-3(x3)^2+2x1*x2+2x2*x3;
-1<0 所以矩阵不正定，即二次型不正定

Answer 3

有图