Question

100分求解几道微分方程题！

发了张清晰的图

Answer 1

1。乘开括号，全部移项到左端，原式可化为：d（arctan y/x +x）=0直接积分得arctan y/x +x=c，带入x=1,y=1解得柯西问题c=5/4 π
2。设y^2+1=z^2,则ydy=1/2d(y^2)=zdz,带入原式得
（xz+1）z^2dx=xzdz 这个方程直接带求根公式就可解，也有简单的方法：设p=z/x,则dz=xdp+pdx,带入得xdp/dx=x^2*p^2,移项得p^(-2)dp=xdx,积分可以解p，然后带回得
-x/√(y^2+1)=1/2x^2+c。
3。思路是y'改写成dy/dx然后方程两端取倒数就变成了Bernoulli方程，带伯努利方程的解法即可。但是有更简单的方法可以用：令x^3=z带入原式可得：dz/dy=z+y+1,带求根公式可解。
4。 这题很简单，纯粹是运算，直接两端同时除以sinx，得到y'=（-1/sinx）y+2(1/1+cosx)，-1/sinx和1/1+cosx都是可以积分的，直接带入求根公式就可以了。
5。左右两端同时除以x^2，并且令y/x=p，原式可化为：py'-p^2=(1+2p+p^2)exp-p,又因为y'=xp'+p，所以原式可化为pxp'=(1+2p+p^2)exp-p,左右同时除以p就可以直接积分得结果了。这个积分有点难算，有两项需要分步积分，但是肯定可以直接算出来。
6。这个需要点巧劲，左右同时乘以dx/y，并且打开括号，得到dx+lnydx+dlny=0，这样就可以直接化为全微分方程，得到d(x+xlny)=0，直接积分得到x+xlny=c。
7。这题没什么技巧，直接打开括号重新组合就得到了全微分方程。原式可化为：
d((x^2)/2+xy+y^2)=0直接积分得到(x^2)/2+xy+y^2=c
8。令x+y=z，则dx=dz-dy,带入原方程可得：-3zdy+dz+zdz=0,两端同时除以z可得全微分方程，原式可化为：d(-3y+z+lnz)=0直接积分得-3y+z+lnz=c,把z=x+y带回来就得到最后结果：x-2y+ln(x-y)=c。
其中第3,4,5题只推导到可以直接用求根公式或者常数变易法求解的形式，因为运算量太大，我没算最后结果。

Answer 2

我刚才看了一下，这些都是很简单的，好好看书吧，课本看会了这些你就会了。