Question

初三数学题。二次函数

已知二次函数y = x^2 - ( m^2 + 4)x - 2m^2 - 12
1、证明：无论m取何值，二次函数一定与x轴有两个交点，并且有一个交点为（-2,0）
2、m为何值时，两交点之间距离为12
3、m为何值时，两交点之间距离最小

已知二次函数，y = x^2 - x + m 若抛物线与Y轴交与A 作AB平行X轴交抛物线于另一点B，当三角形AOB的面积等于4时，求解析式

快点 答得好 1题15分

Answer 1

1、要求函数与x轴的交点就令y=0，解出x的值即可，本题中令y=0后可得：
x^2-(m^2+4)x-2m^2-12=0 ……（a），要证明函数与x轴有两个交点，只需证明方程（a）有两个不同的解即可，[-(m^2+4)]^2+4(2m^2+12)=(m^2+4)^2+8m^2+48>0，显然方程（a）有两个不同的解，所以函数一定与x轴有两个交点。要证明（-2，0）是其中的一个交点，只需证明x=-2是方程（a）的一个解就可以了，将x=-2带入方程（a）中得：4-(m^2+4)*(-2)-2m^2-12=4+2m^2+8-2m^2-12=0，所以x=-2是方程（a）的一个解，因此点（-2，0）是函数与x轴的一个交点。
2、由1知函数与x轴的一个交点是（-2，0），设另一个交点是（x1，0），则x1也是方程（a）的一个解，根据韦达定理，x1-2=m^2+4……（b），-2*x1=-2m^2-12……（c），（b）和（c）化简后得出一个结果x1=m^2+6>0，所以两交点之间的距离是m^2+6-(-2)=m^2+8=12，所以m^2=4，即m=2或m=-2
3、由2知两个交点之间的距离是m^2+8，显然当m=0时距离最小，最小距离为8。
4、抛物线与y轴的交点x=0，此时y=m，即与y轴的交点为A（0，m），过A作x轴的平行线与抛物线相交的另一点的纵坐标为m，另x^2-x+m=m，得x^2-x=0，解得x=1或x=0，由于x=0是抛物线与y轴的交点的横坐标，所以B的坐标为（1，m），而三角形AOB的面积为(m*1)/2=4，解得m=8，所以抛物线的解析式为y=x^2-x+8