Question

在三角形ABC中,AB=AC,点D是BC边上的中点,以点BD为直径作点D，交边AB于点P,连接PC交于点E，且AE=DE

1。求证；PC是点O的切线。
2。若DE=3,求三角形ABC的面积

Answer 1

（1） 连接OP、 OE,因O为BD的中点、E为AD的中点，故EO为△ABD的中位线，则EO‖AB,得∠POE=∠OPB、 ∠EOD=∠PBO.

由OP=OB知∠OPB=∠OBP, 故∠POE=∠EOD.

在△POE和△DOE中：OP=OD,OE为共同边，∠POE=∠EOD（已证），所以△POE≌△DOE，得∠OPE=∠ODE=90°(AD为等腰三角形的中垂线).

从而证得：PC是圆O的切线。

（2） 由切割线定理知：CP²=CD*CB=2CD²,得CP/CD=√2.

Rt△CPO和Rt△CDE有一个共同的锐角，故两者相似。则PO/DE=CP/CD=√2，得PO=√2DE=3√2.

BC=4PO=4×3√2=12√2.

S△ABC=1/2BC*AD=1/2×12√2×6=36√2.