Question

求解一道数学题（要详细过程）

M（√3，0），椭圆x^2/4+y^2=1与直线y=k(x+√3)交于点A,B,则△ABM的周长为
A.4 B.6 C.2√2 D.4√2 (要详细过程）

Answer 1

根据椭圆的定义，椭圆上任意点到两个焦点的距离和都等于定值，即2a,该题中a=2(比照椭圆的标准方程)，直线y必过（-√3，0）点，m点（√3，0），这两个点刚好是焦点。

因此：△ABM=(AP+AM)+(BP+BM)=2a+2a=8

Answer 2

我觉得4个选项都不对，△ABM的周长为8。
椭圆: x^2/4+y^2=1
a^2 = 4 , b^2=1
c^2=a^2 - b^2=4-1=3
c=±√3
∴M为椭圆右焦点F2
椭圆x^2/4+y^2=1与直线y=k(x+√3)交于点A,B
x^2 + (4k^2)(x+√3)^2 = 4
整理后： (1+4k^2)x^2 + (8√3k^2)x + 12k^2 - 4 =0
△=b^2 - 4ac = (8√3k^2)^2 - 4×(1+4k^2)×(12k^2 - 4) = 16k^2+16 =16(k^2+1)＞0
由此可得：无论k取何值，直线与椭圆总有两个交点且直线一定过点(-√3 , 0),即椭圆的左焦点F1
因此，根据椭圆的定义：
△ABM的周长=AM+AB+BM=(AF1+AF2)+(BF1+BF2)=2a+2a=4a=8

Answer 3

M为椭圆右焦点,由题目知,K为不等于0的任意值都得到△ABM,不妨设A、B为短轴端点，则易知△ABM的周长为6