Question

求证不存在正整数a,b,c 满足a^3+b^3+c^3=4abc。

（其实原题是请说说是否有解。如果无解证明如果有解给出例子。但是我用计算机模拟了一下到100000 都无解，我想八成是没解了。）
大家看这个怎么样
满足a^3+b^3+c^3=4abc的a,b,c中，必有1.3个偶数，2.2个奇数1个偶数
若是3个偶数，则用递降法，a=2a0,b=2b0,c=2c0，仍得到a0^3+b0^3+c0^3=4a0b0c0
则总可以递降到有至少一个数为奇数的情况以停止。这时，只有2个偶数1个奇数才可以满足题意。所以情况1可以归为情况2。
假设情况2成立。
a^3+b^3=c(4ab-c^2)
令c=2k(a,b都是奇数)
a^3+b^3=8k(ab-k^2)
(a^3+b^3)/c=4(ab-k^2)==0(mod 4)
因为(a^2-ab+b^2)与4互质(奇数),所以(a+b)/c==0(mod 4)
且a,b,c中，c不可能最大,令b最大。
a^3+c^3=b(4ac-b^2)>0,4ac>b^2且有a,c<b
易得(a+b)/c<8**（怎么易得我不太知道，是靠想象出来的，如果大侠们有证明就多谢了）
所以(a+b)/c=4
代入a^3+b^3=c(4ab-c^2),有(a+b)(a^2-ab+b^2)=((a+b)/4)*(4ab-((a+b)/4)^2)
提取(a+b)不等于0
a^2-ab+b^2=ab-((a+b)/4)^2/4
a^2-2ab+b^2=-((a+b)/4)^2/4
只有一种可能，a-b=0（左边）且有a+b=0（右边）......不解释。
情况2不成立，情况1自然也不成立，全题得证。

有错误请大家指出。

Answer 1

太遥远了，学习一下