Question

求证不存在正整数a,b,c 满足a^3+b^3+c^3=4abc。

（其实原题是请说说是否有解。如果无解证明如果有解给出例子。但是我用计算机模拟了一下到100000 都无解，我想八成是没解了。）
大家看这个怎么样
满足a^3+b^3+c^3=4abc的a,b,c中，必有1.3个偶数，2.2个奇数1个偶数
若是3个偶数，则用递降法，a=2a0,b=2b0,c=2c0，仍得到a0^3+b0^3+c0^3=4a0b0c0
则总可以递降到有至少一个数为奇数的情况以停止。这时，只有2个偶数1个奇数才可以满足题意。所以情况1可以归为情况2。
假设情况2成立。
a^3+b^3=c(4ab-c^2)
令c=2k(a,b都是奇数)
a^3+b^3=8k(ab-k^2)
(a^3+b^3)/c=4(ab-k^2)==0(mod 4)
因为(a^2-ab+b^2)与4互质(奇数),所以(a+b)/c==0(mod 4)
且a,b,c中，c不可能最大,令b最大。
a^3+c^3=b(4ac-b^2)>0,4ac>b^2且有a,c<b
易得(a+b)/c<8**（怎么易得我不太知道，是靠想象出来的，如果大侠们有证明就多谢了）
所以(a+b)/c=4
代入a^3+b^3=c(4ab-c^2),有(a+b)(a^2-ab+b^2)=((a+b)/4)*(4ab-((a+b)/4)^2)
提取(a+b)不等于0
a^2-ab+b^2=ab-((a+b)/4)^2/4
a^2-2ab+b^2=-((a+b)/4)^2/4
只有一种可能，a-b=0（左边）且有a+b=0（右边）......不解释。
情况2不成立，情况1自然也不成立，全题得证。

有错误请大家指出。

Answer 1

立方和公式a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²），a³+b³+c³=（a+b）（a²-ab+b²）+c³=（a+b），（a+b）²-3ab】+c³=（a+b）³-3ab（a+b）+c³，3abc=-c³+3abc+c³，又因为a³+b³+c³=3abc，所以a+b=-c即a+b+c=0。

我们以0为界限，将整数分为三大类：  1.正整数，即大于0的整数，如，1，2，3…  2. 0既不是正整数，也不是负整数（0是整数）。  3.负整数，即小于0的整数，如，-1，-2，-3…

Ⅰ 1是正整数。

Ⅱ 每一个确定的正整数a，都有一个确定的后继数a' ，a'也是正整数（数a的后继数a‘就是紧接在这个数后面的整数（a+1）。例如，1‘=2，2’=3等等。）。

Ⅲ 如果b、c都是正整数a的后继数，那么b=c。

Ⅳ 1不是任何正整数的后继数。

Ⅴ 设S⊆N*，且满足2个条件（i）1∈S；（ii）如果n∈S，那么n'∈S。那么S是全体正整数的集合，即S=N*。(这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性)。

皮亚诺公理对N*进行了刻画和约定，由它们可以推出关于正整数的各种性质。

Answer 2

"另外我们有a^3+b^3+c^3-abc=abc",错误
a^3+b^3+c^3-3abc=abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
所以 abc/(a+b+c)是奇数
"令abc=v(a+b+c), a+b=c(ab-v)/v=2k(ab-v)/v"错误
令abc=v(a+b+c), a+b=c(ab-v)/v=2k(ab-v*v)/v
2k(ab-v*v)(a^2-ab+b^2)=8k(ab-k^2)v
-(ab-v*v)(a^2-ab+b^2)+4(ab-k^2)v=0
二次方程v有实数解 ==>16ab-4c*c-4(a^2-ab+b^2)^2>0
无实数解==>不存在正整数a,b,c 满足a^3+b^3+c^3=4abc

Answer 3

无解。自然数立方模4同余0或1，故三个数必都是偶数，设为2x、2y、2z，代入，x、y、z满足同样条件，继续设，又满足条件…无穷递降法，证毕…

Answer 4

3项立方和公式：
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
推导过程：
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3)-(3abc+3a^2b+3ab^2)
=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-ac-bc)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)

Answer 5

(D)3a 17．若有理数x. y满足|2x-1| (y 2)＝0，则x. y的值等于cb