高数证明题,求解

高数证明题,求解设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x).书上证明过程:假若g(x)、h(... 高数证明题,求解设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x).
书上证明过程:假若g(x)、h(x)存在,使得f(x)=g(x)+h(x),(1),
且g(-x)=g(x),h(-x)=-h(x)
于是有f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x),(2)
利用(1)、(2)式,可以做出g(x)和h(x),这个启发我们做如下证明:
g(x)=[f(x)+f(-x)]/2
h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
则 g(x)+h(x)=f(x),
g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x),
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=h(x).
证毕.

这个是书上的证明过程。
我的疑问在于这道题既然是先通过假设证明f(x)=g(x)+h(x)成立,然后反推g(x)和h(x)的奇偶性。但是在得出f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x)的时候已经用到了奇偶性。用奇偶性反推奇偶性,不是矛盾吗?
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五粒兵
2018-07-25 · TA获得超过854个赞
知道小有建树答主
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那个假设里g和h,一开始只是普通函数,最后才启发得到他们的奇偶性。
如任意函数f=f+0
g=f,h=0
请采纳
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追问
如果是普通函数的话,f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x),是怎么得到的?
是因为某个定理推出来的吗?
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