Question

矩阵A未知，已知AX=0的m个解向量（m＜n-r(A)），求AX=0的通解。 怎么求解这类问题？

Answer 1

所有的解向量个数当然是n-r(A)
而显然已经得到了m个向量
就由这m个列成矩阵
再得到与其无关的n-r(A)-m个向量
通解为组合在一起的n-r(A)

追问

m个已知解向量列成矩阵后，怎么求得与其无关的n－r（A）－m个解向量？能举个例子啥的吗？最好有纸写一下哈

Answer 2

例如
x1 + x2 + x3 + x4 = 0 的基础解系中一个解向量是 ξ1 = (1, -1, 0, 0)^T,
n = 4, r(A) = 1, m = 1, 满足题设条件。
基础解系中另两个解向量 与 ξ1 = (1, -1, 0, 0)^T 线性无关，
可以是 ξ2 = (1, 0, -1, 0)^T， ξ3 = (1, 0, 0, -1)^T，
则通解 x = k1ξ1 + k2ξ2 + k3ξ3

追问

假如已知的解向量ξ1=[1，2，3，4]^T，如何求出其他n－r(A)－m个解向量

追答

这种问题应是有很多种情况，只要 ξ2 ，ξ3 与 ξ1 = [1，2，3，4]^T 线性无关就行，

例如 ξ2 = [2，2，3，4]^T，ξ3 = [1，3，3，4]^T， 不是唯一的。

追问

这样做可以保证ξ2，ξ3与ξ1线性无关，但是无法保证ξ2，ξ3是原方程组的解啊

追答

题目给定条件不可能唯一地确定系数矩阵 A， 也就确定不了其通解。
只能说是某个系数矩阵 A 对应的的方程组的通解。

追问

懂了，多谢