Question

求解一道数学题（要过程）

已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足向量MF1*向量MF2=0的点M总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围是（）
A.(0,1) B.(0,1/2] C.(0,V2/2) D.[√2/2,1) 要详细过程，谢谢！

Answer 1

不妨设椭圆焦点在x轴上
根据椭圆的对称性可知，M取上下顶点时MF1与MF2夹角最大，
而满足向量MF1*向量MF2=0的点M总在椭圆的内部，所以这个最大夹角一定是锐角，因为如果最大夹角是直角或钝角，那么椭圆上肯定就存在使向量MF1*向量MF2=0的点
既然MF1与MF2夹角为锐角，根据三角形的性质可知只要b＞c就行了
所以a^2=b^2+c^2＞2c^2
可得e＜√2/2
又e＞0
所以正确答案选C

Answer 2

满足向量MF1*向量MF2=0的点M总在椭圆的内部
以F1F2为直径的圆上的点全都在椭圆内部
b<c,b=c时，离心率e=二分之根二，所以b<c时，离心率e>二分之根二，此题应选D。

Answer 3

即要求F1MF2是直角，要使M在椭圆内部，则椭圆上的点与F1 F2形成的角必须小于90度，即最大角必须是锐角，我们知道与两交点形成最大角的椭圆上的点是椭圆与Y轴的交点B，也就是要求角F1BF2是锐角，b/c大于1，得c/a小于二分之根号二，所以选C

Answer 4

解：由题意知满足向量MF1*向量MF2=0的点即以F1F2为直径的圆，
∵以F1F2为直径的圆落在椭圆内， ∴b>c
∴b²=a²-c²>c² ∴c²/a²<1/2 ∴c/a<√2/2
即e<√2/2，故选C。

Answer 5

假设a>b，临界点的时候（MF1*向量MF2=0的点M是一个直径两端为F1，F2圆），c=(a^2-b^2)^0.5=b，得到b=c=a*√2/2
那么e=c/a=√2/2，e越小越圆，当e=0的时候肯定满足题意
所以最后答案是C

Answer 6

设点M的坐标为（x，y），焦点在x轴上F1（-c，0），F2（c，0），
则MF1=（-c-x，-y），MF2=（c-x，-y）
MF1*MF2=x^2+y^2-c^2=0
所以M的轨迹以原点为圆心，c为半径的圆。这个圆在椭圆的内部，所以有c<b
即c^2<b^2=a^2-c^2
2c^2<a^2
两边除以a^2得2e^2<1 e^2<1/2
所以0<e<√2/2
选C