Question

设A是mxn矩阵，B是nxm矩阵，则线性方程组ABX=0……

答案是当M>N时必有非零解，能解释下为神马？

Answer 1

当m>n时，r(A)<=n<m , R(B)<=n<m

所以 r(AB)<=n<m,而AB是m阶方阵，所以AB不满秩

所以ABX有非0解

例如：

设r(ab)=r，则线性方程组abx=0的基础解系中含有s-r个解向量，又线性方程组abx=0与bx=0同解，所以线性方程组bx=0的基础解系中也含有s-r个解向量，所以r(b)=s-(s-r)=r

即r(ab)=r(b)

反之，若r(ab)=r(b)，则线性方程组abx=0与bx=0的基础解系中所含解向量的个数相同。又显然bx=0的所有解都是abx=0的解，所以bx=0的一个基础解系也是abx=0的基础解系。故线性方程组abx=0与bx=0同解。

扩展资料：

对有解方程组求解，并决定解的结构。这几个问题均得到完满解决：所给方程组有解，则秩(A）=秩（增广矩阵）；若秩(A）=秩=r，则r=n时，有唯一解；r<n时，有无穷多解；可用消元法求解。

当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有 ，即不一定有解。

参考资料来源：百度百科-线性方程组

Answer 2

当m>n时，r(A)<=n<m , R(B)<=n<m
所以 r(AB)<=n<m,而AB是m阶方阵，所以AB不满秩
所以ABX有非0解