Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E， 〔1〕求证：△EAB~△ECA；

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E，
〔1〕求证：△EAB~△ECA；
〔2〕△ABE和△ADC是否一定相似？如果相似，请加以证明；如果不一定相似，那么增加一个条件，使△ADC和△ADC一定相似.
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Answer 1

证明：1、因角BAC=90度，AE垂直AD, AE交CB延长线于点E，
所以角EAB=角CAD。
又因角BAC=90度 D是BC中点，所以角C=角CAD。
所以角EAB=角ECA（角C）。
因角E为公共角，所以：△EAB~△ECA。
2、三角形ABE和三角形ADC一定相似。
因三角形EAB相似于三角形ECA，所以角EAB=角ECA=角DCA。
因AD为直角三角形的中线，所以BD=AD。所以角DBA=角DAB。
又因角EBA=角BDA+角BAD=角BDA+角BAD=角ADC，
所以三角形ABE和三角形ADC一定相似。