Question

已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，点D,P分别在AC,AB上，且BD=AD，PE⊥BD,PF⊥AD，垂足分别为点E,F

（1）当∠A=30°时，求证：PE+PF=BC
（2）当∠A≠30°（∠A＜∠ABC）时，以上结论是否依然正确？如果正确，请加以证明；如果错误，请说明理由。

Answer 1

因为∠A=30°，所以PF=1/2AP
因为BD=AD，所以∠ABD=∠A=30°，所以PE=1/2BP
所以PE+PF=1/2(BP+AP) ，即PE+PF=1/2AB
因为∠A=30°，所以BC=1/2AB
PE+PF=BC

Answer 2

直接证明第二问，第一问同下。
证明：仍然成立。
过点P作PG⊥BC [图就不画了，就一条辅助线]
∵∠C=90°，PF⊥AD
∴四边形GPFC为矩形 ∴GC=PF
GP平行于CA
又∵PE⊥BD，∠BGP=∠BEP，BP=BP，∠GPC=∠A=∠GBP
∴△GBP全等于△EPD
∴GB=PE
【∵GB+GC=BC ∴PE+PF=BC】

自己证明的，简单分析了一下思路，有些证明不完全，见谅。
做线段和差这类问题时，基本思路是“截长补短”。
希望能够帮助你。