Question

函数题 求解

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域D内存在X0，使得f(x0+1)=f(x0)+f(1) 成立.
（1） 函数f(x)=1/x是否属于集合M？说明理由：
（2） 若函数f（x）=kx+b属于集合M，试求实数k和b的取值范围

Answer 1

(1) 不属于集合M
f(x+1)=1/(x+1)
f(x)=1/x
f(1)=1/1=1
1/(x+1)=1/x+1 在实数范围内无解
(2) f(x+1)=k(x+1)+b=kx+k+b
f(x)=kx+b
f(1)=k+b
要使f(x+1)=f(x)+f(1)
即 kx+k+b=kx+b+k+b
只要b=0即可
即 K取任意实数, b取0

Answer 2

解：(1) 不属于集合M
∵f(x0+1)=1/(x0+1)
f(x)=1/x
∴f(x0)=1/x0，f(1)=1
∵f(x0+1)=1/(x0+1)≠f(x0)+f(1)
∴ 函数f(x)=1/x 不属于集合M
(2) ∵函数f（x）=kx+b属于集合M
∴f(x0)=kx0+b，f(1)=k+b
∴f(x0+1)=k(x0+1)+b=kx0+b+k+b
即 kx0+k+b=kx0+b+k+b
∴b=0
即 K取任意实数, b取0